Álgebra Linear
Essa ferramenta foi feita para auxiliar estudantes na Álgebra Linear através da visualização dos conceitos em conjunto com exemplos tradicionais.
Aqui é possivel ler o básico sobre Bases, Transformações Lineares e Operadores Lineares e visualizar como cada um deles afeta os vetores interagindo com eles na calculadora interativa em Visualização Interativa!
Combinação e Dependência Linear
Combinação Linear
Combinação Linear é o vetor que resulta da soma de produtos de outros vetores por escalares. Algebricamente:
v = λ₁·v₁ + λ₂·v₂ + λ₃·v₃ + ... + λₙ·vₙ
Geramos um novo vetor v a partir de vetores dados v₁, v₂, ..., vₙ multiplicados por escalares λ₁, λ₂, ..., λₙ.
Importância:
Saber se um espaço vetorial possui vetores gerados por outros, e se um espaço pode ser gerado por um subespaço
Obter v a partir de v₁ e v₂:
v = 2·(1, 1) + 1·(0, 2)
v = (2, 2) + (0, 2)
v = (2, 4)
O vetor (2, 4) é combinação linear de (1, 1) e (0, 2)
Obter v₁ e v₂ a partir de λ₁ = (1, 1) e λ₂ = (2, 0):
v₁ = (2, 4):
2·(1, 1) + 1·(0, 2) = (2, 4)
v₂ = (5, 3):
5·(1, 0) + (-1)·(0, 2) = (5, 3)
Os vetores (2, 4) e (5, 3) são combinação linear de (1, 1) e (0, 2)
Dependência Linear
Dependência Linear ocorre quando pelo menos um vetor de um conjunto é combinação linear dos outros
Um conjunto é classificado como:
LD (Linearmente Dependente)
Pelo menos um vetor é gerado pelos outros
LI (Linearmente Independente)
Nenhum vetor é gerado pelos outros
Para conferir a dependência, analisamos a equação de combinação linear igualando ao vetor nulo:
λ₁·v₁ + λ₂·v₂ + λ₃·v₃ + ... + λₙ·vₙ = 0
Análise do Sistema:
Verificar se {(1, 3), (2, 4)} ⊂ ℝ² é LI ou LD:
λ₁·(1, 3) + λ₂·(2, 4) = (0, 0)
λ₁ + 2λ₂ = 0
3λ₁ + 4λ₂ = 0
Matriz aumentada:
Após L₂→L₂-3L₁:
PA = PB = 2 (SPD)
Solução única: λ₁ = λ₂ = 0
O conjunto é LI!
Verificar se {(1, 2), (2, 4)} ⊂ ℝ² é LI ou LD:
λ₁·(1, 2) + λ₂·(2, 4) = (0, 0)
λ₁ + 2λ₂ = 0
2λ₁ + 4λ₂ = 0
Observe: L₂ = 2·L₁ (linhas proporcionais)
2λ₁ + 4λ₂ = 2·(λ₁ + 2·λ₂)
2λ₁ + 4λ₂ = 2·λ₁ + 4·λ₂
0 = 0
λ₁ = -2λ₂
SPI (infinitas soluções)
Ex: λ₁ = 2, λ₂ = -1 (solução não-trivial)
O conjunto é LD!
De fato: (2, 4) = 2·(1, 2)
Bases
Gerando Espaços Vetoriais
Alguns conjuntos vetoriais conseguem gerar Espaços Vetoriais através da combinação linear de seus vetores. A verificação é semelhante à análise de dependência linear, porém igualamos as equações às coordenadas xᵢ de um vetor qualquer ao invés de zero.
v = λ₁·v₁ + λ₂·v₂ + λ₃·v₃ + ... + λₙ·vₙ
O vetor v é igualado a um vetor qualquer de V, escrito como (x₁, x₂, ..., xₙ). O sistema resultante é:
λ₁a₁ + λ₂a₂ + ... + λₙaₙ = x₁
λ₁b₁ + λ₂b₂ + ... + λₙbₙ = x₂
⋮
λ₁m₁ + λ₂m₂ + ... + λₙmₙ = xₙ
Para gerar o espaço, o sistema deve ser SPD (Sistema Possível Determinado)
Seja V = ℝ², α = {(1, 4), (2, 0)} e α ⊂ V:
Sistema:
λ₁·1 + λ₂·2 = x₁
λ₁·4 + λ₂·0 = x₂
Matriz:
det(A) = 1·0 - 2·4 = -8 ≠ 0
O conjunto α GERA o espaço V!
Solução:
λ₁ = (x₁·0 - 2·x₂)/(-8) = x₂/4 , λ₂ = (1·x₂ - x₁·4)/(-8)(4x₁ - x₂)/8
Seja V = ℝ², α = {(1, 3), (2, 6)} e α ⊂ V:
O conjunto α NÃO gera V
Gera apenas o subconjunto W = {(x₁, 3x₁)}
Base
Uma base é um conjunto de vetores LI que consegue gerar um Espaço Vetorial V
Isso significa que todos os vetores de V podem ser gerados com os vetores da base β, e essa base tem o número mínimo de vetores necessários para gerar V.
Método para verificar se β é base de V:
- 1 Testar se o conjunto gera o espaço
- 2 Testar se o conjunto é Linearmente Independente
- 3 Se o conjunto for LI e gerar o espaço, então ele é base!
Usando α = {(1, 4), (2, 0)} do exemplo anterior:
Sistema:
λ₁·1 + λ₂·2 = x₁
λ₁·4 + λ₂·0 = x₂
Matriz:
Solução:
1. det(A) = 1·0 - 2·4 = -8 ≠ 0 (Gera o espaço!)
λ₁ = (x₁·0 - 2·x₂)/(-8) = x₂/4 ,
λ₂ = (1·x₂ - x₁·4)/(-8) = (4x₁ - x₂)/8
2. Com x₁ = x₂ = 0:
λ₁ = 0/4 = 0
λ₂ = (4·0 - 0)/8 = 0
O conjunto é LI!
O conjunto α É BASE de V!
Bases Canônicas
Os conjuntos V = ℝⁿ têm bases canônicas com a seguinte forma:
β = {(1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), (0,0,1,...,0), ..., (0,0,0,...,1)}
Onde β contém n vetores com n elementos
e₁
(1, 0, ...)
e₂
(0, 1, ...)
e₃
(0, 0, 1, ...)
eₙ
(..., 0, 1)
Mudança de Base
Mudança de Base
Os coeficientes λ's são as Coordenadas do Vetor na Base β e representam como o vetor é escrito na base β.
Um vetor v = (x₁, x₂, ..., xₙ) na base canônica
↓
Será escrito como [v]β = (λ₁, λ₂, ..., λₙ) na base β
Seja v = (2, 4) ∈ ℝ² e a base β = {(1, 4), (2, 0)}:
Substituindo x₁ = 2, x₂ = 4:
λ₁ = 4/4 = 1
λ₂ = (4·2 - 4)/8 = 1/2
(2, 4) → (1, ½)β
Transformação Linear
Transformações Lineares
Uma transformação linear é uma "função" que descreve uma relação entre dois espaços vetoriais. Algebricamente, isso é escrito como:
T : ℝⁿ → ℝᵐ
T : V → W, onde V = ℝⁿ e W = ℝᵐ
(ou seja, V e W são espaços vetoriais)
T(v) = w, onde v ∈ ℝⁿ e w ∈ ℝᵐ
Normalmente, isso é feito através de uma multiplicação matricial de um vetor pela matriz da transformação linear, ou por substituição direta na transformação.
Formas de resolver uma transformação linear:
Forma 1:
T(v) = w (Substituição na transformação)
Forma 2:
[T]·[v] = [w] (Multiplicação de matrizes)
Nomes Especiais:
- • Aplicação de V em W ou Transformação de V em W - o processo geral
- • Operador Linear - quando V = W (transformação do espaço em si mesmo)
Método para verificar se T é Transformação Linear:
- 1 Testar se T(0) = 0
- 2 T(u + v) = T(u) + T(v)
- 3 T(λv) = λ ⋅ T(v)
Sendo T(x, y, z) = (x + z, y) e v = (v₁, v₂, v₃) ∈ ℝ³:
Substituindo T(x, y, z) pelas coordenadas de v:
T(v) = T(v₁, v₂, v₃)
T(v₁, v₂, v₃) = (v₁ + v₂, v₃)
T(v) = (v₁ + v₂, v₃)
Sendo T(x, y, z) = (x + z, y) e v = (v₁, v₂, v₃) ∈ ℝ³:
Montando a matriz [T]:
[T] =
Aplicando a transformação T em v:
[T]·[v] =
[T]·[v] =
Matriz Transformação
A Matriz Canônica da Transformação (ou simplesmente Matriz Transformação) é representada por [T] e permite calcular T(v) através de multiplicação matricial:
[T] · [v] = [w]
Para encontrar [T], "decompomos" a transformação
Seja T(x, y, z) = (x + z, y) e v = (v₁, v₂, v₃) ∈ ℝ³:
T(x, y, z) = (x + z, y)
Decompondo:
T(x, y, z) = (x + z, 0) + (0, y)
T(x, y, z) = (x, 0) + (0, y) + (z, 0)
T(v) = v₁·(1, 0) + v₂·(0, 1) + v₃·(1, 0)
Os vetores descompostos formam as colunas de [T]:
Coluna 1: (1, 0) [multiplica v₁]
Coluna 2: (0, 1) [multiplica v₂]
Coluna 3: (1, 0) [multiplica v₃]
Matriz [T]:
Verificação:
[T]·[v] =
Núcleo e Imagem
Núcleo da Transformação
O Núcleo da Transformação Linear (ou simplesmente Núcleo) é representado por N(T) ou Ker(T) e é o conjunto de todos os vetores v que se tornam nulos após a aplicação de [T].
Algebricamente, o conjunto é achado por:
T(v) = 0
ou
[T]·[v] = [0]
Como T(0) sempre é 0 (a transformação linear do vetor nulo sempre é o vetor nulo),
o Ker(T) sempre contém pelo menos o vetor nulo.
Como o Núcleo é um subespaço vetorial, a dimensão do Nucleo (dim Ker(T)) é a quantidade de vetores não nulos e com "formas" distintas em Ker(T).
Caracteristicas Notáveis do Ker (T):
- 1 Ker(T) NUNCA é vazio
- 2 Se dim Ker(T) = 0, ou seja Ker(T) = {0}, então T:V→W é injetora
Sendo T(x, y, z) = (x + z, x - y) e T:ℝ³→ℝ²:
Sistema formado por T(x, y, z) = (0, 0):
T(x, y, z) = (x + z, x - y)
=>
(x + z, x - y) = (0, 0)
=>
x + z = 0
x - y = 0
Matriz:
Solução usando Gauss-Jordan:
=>
x + z = 0
y + z= 0
=>
x = -z
y = -z
=>
v = (x, y, z) = (-z, -z, z)
=>
v = z·(-1, -1, 1)
=>
Ker(T) = z·(-1, -1, 1)
=>
Ker(T) = {(-1, -1, 1)}
O Ker(T) contem apenas os vetores com a forma (-1, -1, 1)!
(Ex: (-2, -2, 2), (1, 1, -1), (-1, -1, 1))
Imagem da Transformação
A Imagem da Transformação Linear (ou simplesmente Imagem) é representada por Im(T) e é o conjunto de todos os vetores w que são gerados por [T].
Algebricamente, o conjunto é achado por:
T(v) = w
ou
[T]·[v] = [w]
Como T(0) sempre é 0 (a transformação linear do vetor nulo sempre gera o vetor nulo),
a Im(T) sempre contém pelo menos o vetor nulo.
Como a Imagem é um subespaço vetorial, a dimensão da Imagem (dim Im(T)) é a quantidade de vetores não nulos e com "formas" distintas em Im(T).
Caracteristicas Notáveis da Im (T):
- 1 Im(T) NUNCA é vazio
- 2 Se dim Im(T) = dim W, então T:V→W é sobrejetora
- 3 Se os vetores de Im(T) gerarem W, então Im(T) é o prórpio conjunto W (Im(T)=W)
Sendo T(x, y, z) = (x + z, x - y) e T:ℝ³→ℝ²:
Sistema formado por T(x, y, z) = (a, b):
T(x, y, z) = (x + z, x - y)
=>
(x + z, x - y) = (a, b)
=>
x + z = a
x - y = b
Matriz:
Solução usando Gauss-Jordan:
=>
x + z = a
y + z = a - b
=>
w = (a, a - b)
=>
v = (a, a) + (0, -b)
=>
v = a·(1, 1) + b·(0, -1)
=>
Im(T) = {(1, 1) , (0, -1)}
Como os vetores de Im(T) geram o espaço ℝ², a Im(T) é o próprio conjunto dos ℝ²!
(Algebricamente, Im(T) = ℝ²)
Operador Linear
Operadores Lineares
Um operador linear é um tipo especifico de transformação linear, na qual a transformação do espaço é feita no mesmo espaço. Algebricamente, isso é escrito como:
- T : ℝⁿ → ℝⁿ
- T : V → V, onde V = ℝⁿ
(ou seja, V é espaço vetorial)
- T(v) = w, onde v e w ∈ ℝⁿ
Normalmente, por serem usados para manipular objetos que podemos ver, n = 2 ou n = 3, ou seja, os operadores lineares são usados em espaços 2D ou 3D.
- 1 [Tdil/contr], operador de dilatação/contração
- 2 [Treflexão2D], operador de reflexão em espaços bidimencionais
- 3 [Treflexão3D], operador de reflexão em espaços tridimencionais
- 4 [Texp/comp], operador de expansão/compressão
- 5 [T𝜽], operador de rotação em 𝜽
- 6 [Tc], operador de cisalhamento em espaços bidimencionais
Alguns operadores lineares notáveis:
[Tdil/contr] operador de dilatação/contração
O Operador Linear de Dilatação e Contração (ou simplesmente operador de dilatação/contração) é representado por [Tdil/contr] e altera o tamanho do vetor.
Sua forma matricial é:
, para n = 2
, para n = 3
Em que k > 0
Se 1 > k > 0, o operador é de CONTRAÇÃO, ou seja, o tamanho do vetor diminui.
Se 1 < k, o operador é de DILATAÇÃO, ou seja, o tamanho do vetor aumenta.
[Treflexão2D] operador de reflexão em espaços bidimencionais
O Operador Linear de Reflexão em duas dimensões (ou simplesmente operador de reflexão 2D) é representado por [Treflexão2D] e altera a direção de uma das coordenadas do do vetor (como um espelho!).
Sua forma matricial é:
, para reflexão em x
, para reflexão em y
Isso é especialmente útil para prever a imagem de um objeto que se encontra em um plano paralelo a um espelho plano.
[Treflexão3D] operador de reflexão em espaços tridimencionais
O Operador Linear de Reflexão 3D (ou simplesmente operador de reflexão 3D) é representado por [Treflexão3D] e altera a direção de uma das coordenadas do do vetor (como um espelho!).
Sua forma matricial é:
, para reflexão em torno do plano xy
, para reflexão em torno do plano yz
, para reflexão em torno do plano xz
Isso é especialmente útil para prever a imagem de um espelho plano de um objeto que se encontra em um plano qualquer.
[Texp/comp] operador de expansão/compressão
O Operador Linear de Expansão e Compressão (ou simplesmente operador de expansão/compressão) é representado por [Texp/comp] e altera o apenas uma das coordenadas do vetor (o aumento é geometrico!).
Sua forma matricial é:
, para n = 2, manipulando x
, para n = 2, manipulando y
, para n = 3, manipulando x
, para n = 3, manipulando y
, para n = 3, manipulando z
Em que k > 0
Se 1 > k > 0, o operador é de COMPRESSÃO.
Se 1 < k, o operador é de EXPANSÃO.
[T𝜽] operador de rotação em 𝜽
O Operador Linear de Rotação em 𝜽 (ou simplesmente operador de rotação em 𝜽) é representado por [T𝜽] e rotaciona o vetor em 𝜽 graus no sentido ANTI-HORÁRIO
Sua forma matricial é:
(para n = 2)
(para n = 3, rotacionando em torno de x)
(para n = 3, rotacionando em torno de y)
(para n = 3, rotacionando em torno de z)
Em que 𝜽r está em radianos, ou seja, para rotacionar 𝜽 graus, 𝜽r deverá ser 𝜽 · π / 180
Se n = 2, o operador gira em torno da origem.
Se n = 3, o operador é de gira em torno de um eixo, normalmente.
[Tc2D] operador de cisalhamento em espaços bidimencionais
O Operador Linear de Cisalhamento em duas dimensões (ou simplesmente operador de cisalhamento 2D) é representado por [Tc2D] e altera o tamanho de uma das coordenadas em função da outra.
Sua forma matricial é:
, para cisalhamento em x
, para cisalhamento em y
Se considerarmos um retângulo, o [Texp/comp] mudaria a altura ou a largura de um retângulo, o [Tc2D] transformaria um quadrado em um paralelogramo qualquer.
Visualização Interativa
(No computador) Tanto o plano cartesiano quanto o vetor v podem ser manipulados ao pressionar o botão direito do mouse sobre eles e os arrastar e o scroll do mouse pode ser usado para dar zoom
(No celular) Tanto o plano cartesiano quanto o vetor v
podem ser manipulados ao tocá-los e arrastá-los e fazer um
movimento de pinça dar zoom
⚝ Resumo Rápido
Combinação
v = Σλᵢvᵢ
Dependência
Σλᵢvᵢ = 0
Gera V?
det ≠ 0
É Base?
Gera + LI
Coords
[v]β = (λᵢ)
Transformação Linear
T(v) = w
v ∈ ℝⁿ, w ∈ ℝᵐ
Matriz Transformação
[T] · [v] = [w]
Núcleo
Ker(T) = {v}
T(v) = 0
Imagem
Im(T) = {w}
T(v) = w
Operador Linear
T(v) = w
v e w ∈ ℝⁿ